提高Monte Carlo模拟定积分计算的精度

前几天在COS主站上看到一篇谈Monte Carlo求定积分的方法的文章。记得去年我学matlab时,求定积分便用到了这两种方法,而在上概率论课时,老师也略微涉及到相关的内容。当时的感觉时,定积分这种一般用确定型算法计算的东西,竟然还可以用随机的方法来实现,确是一种非常巧妙的思想,(Monte, Carlo是摩纳哥的一个赌城,二战时Von, Neumanm一伙人研究原子弹时弄出来的方法。)于是被震撼,也没有再深究其中更详细的内容。

但是昨天一看到这篇文章,便想起寒假时候看的那本《计算方法》中关于Monte, Carlo平均值方法的论述,而最近在上计算方法的课,正纠结与一堆无聊的误差计算中,于是便再次翻开此书看看,竟发现了一些一直没太注意的很重要的章节。

具体如下:

  • 平均值方法是根据弱大数定律证明得来的。构造如此

    I(f)\approx 1/N\sum_{i=1}^{N}f(X_i)=I_N(f)


    均方误差

    E|e_N|^2=E(I_N(f)-I(f))^2=\frac{1}{N}Var(f(X))


    而由Schwartz不等式知

    E|e_N|\leq \sqrt{E|e_N|^2}=\sqrt{Var(f)/N}

    ,从中便可知 MC 法具有半阶收敛性,且收敛阶不依赖问题的维数,这样在计算高维积分的时候,比较优越。但是收敛速度还是很慢的,是一个比较坏的收敛速度。因此在有其他高效率、高精度的确定型算法时,就不要采用MC法,那是在没有更好的算法时更好的抉择,比如超高维积分。
  • 由均方误差可知,要提高 MC 法的精确度,那么久必须得增大N,减小VAR(f),也就是说,要增加样本量,同时改善抽样方法的选择,这时便有很多方法选择,书中提到了四种方法,我就谈谈我的理解和试验。
    1. 分层抽样。核心就是将原来的 [0,1] 区间 M 等分后在各个小区间上分别再以均匀分布抽样 N/M 个点,然后以

      I_N=1/N \sum_{k=1}^{M}\sum_{i=1}^{N_k}f(X_i^{(k)})


      理论证明知这样方差减少,具体证明式子较多就不再写,否则就是一本教材的翻版了。
      模拟\int_{0}^{1}exp(-x^2/2)/\sqrt{2pi}dx,具体实验结果如下 

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      
      M<-100
      N<-1000
      A=matrix(as.numeric(gl(M,N/M))-1,ncol=N/M,byrow=T)
      B=replicate(M,runif(N/M))
      x=1/M*t(B)+A/M
      y=exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)
      I=mean(y)

      结果为0.3413287,可知只取了1000个样本点的情况下,精确度已经十分好了,而一般的均值模拟
      达到此精确度则需要10^7个点。

    2. 对偶变量法。
      这是一种特殊的针对于定义域具有一定对称性的函数性质的技巧。基于这样的命题:如果f(x)是单调的,则Cov(f(X),f(1-X))\leq0,这里X\sim U[0,1]。则有

      I_N=1/(2N)\sum_{i=1}^{N}(f(X_i)+f(1-X_i))

      ,
      EI_N=I(f),
      经过证明知 Var(I_N)\leq \frac{1}{2N}Var(f),方差显然减少。 

      但是这种方法只是对于定义域有一定对称性的函数,如果对一种函数先验了解不多,而且对称性不知,则运用会出现失误,所以具有一定局限性。
      模拟\int_{0}^{1}exp(-x^2/2)/\sqrt{2pi}dx的代码如下:

      1
      2
      3
      
      a=runif(10^6)
      y=exp(-a^2/2)/sqrt(2*pi)+exp(-(1-a)^2/2)/sqrt(2*pi)
      b=sum(y)/(2*10^6)

      结果为 0.3413487,精确度也得到了提高。

    3. 重要性抽样:核心就是构造一个新的积分

      I(f)=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{p(x)}p(x)dx

      其中p(x)[0,1]的概率密度,\int_{0}^{1}p(x)dx=1,p(x)\geq 0。这样得到类似于最初最简单的那种均值法的新的形式积分近似 I(f)\approx 1/N\sum_{i=1}^{1}f(Y_i)/p(Y_i)Y_i为遵循p(y)的独立同分布随机变量(i.i.d),而之所以这样构造,可以根据这幅图来理解,a importance sampling chart\int_{0}^{a}+\int_{b}^{1}f(x)dxI(f) 很少比例(即图像的边缘部分),尽可能的不让随机点去计算这些值,这样的“拟合”积分较好(面积),否则很多的随机点在 [a,b] 外,为计算小比例的东西做贡献,这样必定精度较差,所以我们要期望尽可能的值出现在峰值处。我们称其为“重要性”抽样。理论分析,

      Var_X(f)=\int_{0}^{1}(f-i(f))^{2}dx=\int_{0}^{1}f^{2}dx-I^{2}(f)

      ,

      Var_Y(f/p)=\int_{0}^{1}(f/p)^{2}pdy-I^{2}(f)=\int_{0}^{1}f^2/pdy-I^{2}(f)

      .
      只要选取适当的 p(y) 就可以使方差减少。
      当然不可能是Var(f/p)=0,这在图的模拟便可知,p(y)不可能与f(x)相合的同时,还有\int_{0}^{1}p(x)dx=1。但是p难以选择,需要对问题先验有了一定的了解程度才能适当选取。比如对于正态分布求\int_{0}^{1}exp(-x^2/2)/\sqrt(2pi)dx,我不太好选p,就没有做相关的模拟了。
    4. 控制变量法。
      核心也是构造,数学式子I_N(f)=i/N\sum_{i=1}^{N}(f-g)(X_i)+I(g).
      需要I(g)已知,但是这是同重要性抽样一样,都不知道,也需要对问题先验有了一定的了解程度,才能好的选择,使I(g)已知,并且有Var(f-g)\leq Var(f)。相关模拟我也没有再做

总之,正如书中所言,减小误差都只是具有指导思想的意义,具体问题,往往需要我们对被积函数有先验的了解,才能够减小误差,提高精度。确实如此,我的例子都是比较特殊或者简单的,如果对于复杂的问题,而且对该函数比较怪异少见,那么在以上的方法中寻找什么p(x),都是一项非常艰巨或者不可能完成的任务。因此,我下一结论,奇技淫巧之所以巧无外乎我们有了个千里眼和顺风耳,瞎碰瞎撞弄出一个巧妙的解法那是很难的,大部分都是前人解法突然激发灵感得来(此时此刻竟想起了贝叶斯来...)。所以对于专门解决高维积分强有力算法——Metropolis算法我是敬佩有加,这一算法2000年惊被评为20世纪十大算法之一。后面产生的什么模拟退火,拟Monte Carlo都与他有莫大的渊源。而伟大的东西终究充满了高深而深刻的东西,我目前楞死没有看太明白,已经被符号给堆死了。但是我想过段时间在查阅相关资料应该可以弄明白吧。

最后再扯句从中学到了的随机向量的构造——正态分布随机变量——Box-Muller法
以前学的是用n个均匀分布随机数由中心极限定律构造,但是那个要得到较好的精度需要N很大,故需要精确的还是用上面的那个方法更比较有保证,咱看公式也心安嘛。

由“薛定谔猫”思概率统计

准备写这篇博文的时候,才发现自己不知道什么时候链接到薛定谔这个天才的物理学家身上来的。也许应了 Milgram 的六度分割理论,在百度SNS的时候,竟通过一堆链接便链到了这位可爱的物理学家,这就是缘分!

只记得在校内某个分享史上最优美的物理公式时候,依稀看到过薛定谔这位大神的名字。而他的那个稀奇古怪的公式,真看的我头皮直发麻:

\Huge {-\frac{\bar{h}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi}

也不知道什么意思。
而今天百度到他时,才知道他是概率量子力学——波动力学的创始人,和我的统计专业还是有很大的血缘关系。于是兴致勃勃的瞻仰他的生平事迹。很快我就被他提出的一个悖论给吸引住了:薛定谔猫态

实验内容异乎寻常的简单:它被封在一个密室里,密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子,锤子由一个电子开关控制,电子开关由放射性原子控制。如果原子核衰变,则放出α粒子,触动电子开关,锤子落下,砸碎毒药瓶,释放出里面的氰化物气体,猫必死无疑。

但是推论却是令人非常意外:当它们都被锁在箱子里时,因为我们没有观察,所以那个原子处在衰变/不衰变的叠加状态。因为原子的状态不确定,所以猫的状态也不确定,只有当我们打开箱子察看,事情才最终定论:要么猫躺在箱子里死掉了,要么它活蹦乱跳地“喵呜”直叫。问题是,当我们没有打开箱子之前,这只猫处在什么状态?似乎唯一的可能就是,它和我们的原子一样处在叠加态,这只猫当时陷于一种死/活的混合。

我没有学大学物理中的量子力学,所以对薛定谔方程本身就没有什么很深刻的理解。但是按我理解这个悖论,那就是现实的真实性与观测(或者说是理论计算)的关系。但是纯粹的观测对实验的结果又没有影响呢?

从我学统计以来,便慢慢有了一些想法和疑惑。我一直在想,概率是什么?现实事件的发生似乎是不确定的,但是经过观测,大量的发生似乎又有了一定的确定性,就和量子力学的思想一样:除非进行观测,否则一切都不是真实的。

特别是当学到大数定律中心极限定律以后,再反观之前的那些古典概率问题,有了一种特别奇特的感觉,似乎少量的实验得不出比较准确的结果,大量实验才能揭示出本质;且少量的实验似乎将会很容易让我们出现一些判断的失误。

一个硬币投下来或正或反,这个与经验常识还比较符合;但是一只猫在密室中不死不活,这个就大大的违背了常识了。当然这个问题扎痛了哥本哈根学派的量子论,也让我百思不得其解。因为学概率学久了,我也有了一些唯心的感觉:存在即被感知,世界是由不确定的、随机的事件构成并决定;只有最后的测量,我们才能够肯定一个事件的存在性。我隐隐约约觉得被灌输着一种思想:世界的本质就是不确定性。

而之前我被一个古典概率困扰了很久也跟这种思想有很大的关系。在那个问题中我认为其中球的可辨与不可辨与我们实验过程有很大的关系,虽然最后观察的事件都一样,但是这种每一次的测量都是以各种可能性的“塌缩”(借用物理中的概念描述)到一种结果告终的,所以最后的测量必然要与我们实验过程中的感知有关。换一种说法就是在我们投球时候,是否做到了等概率性(随机性)。我们感知着球,如果一次一次的投,必然心中会默认将其编号(不管每个球是否一样),这样就导致了球的可辨性;而如果我们一次性的投所有的球,无法感知球,那么球就丧失了可辨性。而最后我们观察的结果便将对应一次我们实验过程,将所有的可能性实验做完,便可以计算概率。但是这样做(类似暴力计算)与一般我们的计算结果将会有出入,特别是不可辨时。一般的计算将从最后的结果出发,只决定论式看最后的可测的结果,而不管过程;而我思考的过程恰好反了过来,我从过程进行出发,再到结果的计算。一句话,就是两种因果论调不同。当然此时这种因果分析与薛定谔猫的问题有偏差,与“蝴蝶效应”和“外祖母悖论”反而更接近些。但是我最初的那个问题依然存在,什么是概率?就比如上面这种投球,这种所谓的概率对一次结果没有什么必然的意义(当然这不是一个好例子),而薛定谔猫更是提出了让概率难回答的更现实的问题。

浏览一些量子力学的网页我渐渐觉得,决定论样的量子论诠释更能坚定我内心信仰。而对于自身学的概率统计,也应该以决定论的观点去看待。如果以人的感知来测量结果,很容易就陷入了主观唯心的困境。概率统计对于问题的描述是一个很好的工具,但是最后的结果无法不确定(当然在量子力学中,微观世界的运动是很高速的,一次单独的结果描述不是那么的有效,用一组结果来描述反而更有现实意义。因此概率量子力学与现实的经验结果也符合的很好。但宏观世界中应该是没有必要做如此处理的,没有必要还说对着一枚硬币正面说他出现的概率是0.5。)

究竟是必然还是偶然决定了宇宙的命运?我想上帝没有在玩骰子!

一个并不麻烦的古典概率题

很久没有更新博客了,主要最近到了考试周,忙于复习,虽然有一些想写的东西,但是时间的缘故,就只好暂且搁置着了。但今天复习概率论时,又想起了很久前遇到的一个题,仍然没有一个好的解答,虽然今天想的时候,已经有了一些新的想法,特别对概率空间这个概念有了更深的认识,但对这道题仍然是感到很模糊,已经有被折磨仙仙欲死之感,故赶紧拿出来与大家探讨。

在古典概率中,我们经常遇到一种模型。题目如下:将 r 个球放到 n 个盒子中,恰有 m 个空盒子的概率是多少?

看到这样的题,我们第一反应是什么呢?
我想大部分人会有如下的想法。首先有 n^r 种的情况,我们要求的情形:首先取出 m 个空盒,这样有 binom{n}{m} 种情况,然后剩下的 n-m 个盒子全部都有球,那这个情况有多少种呢,这个时候,麻烦的事情就来了。有些人会给出这样的情况 binom{r-1}{n-m-1},意思就是将 r 个球分成 n-m 堆;还有人可能这样想,先给每个盒子放一个球,然后其余的球随便放;也许还有人想,剩下的盒子都必须不空,这个不太好求,那我就求他的对立事件,至少有一个空盒子吧,也许可能还有其他的想法…
但是如果上来,没有对这个题的题目进行思考就像上面那样进行求解,,那我们怎么做这道题都是错的。因为这说明我们对概率空间这个概念还没有捋清楚。而这道题中的样本空间确实根本没有说清楚,我们是无法一概而论的。

这道题要分成了四种情况讨论:

  1. 球、盒均不可辨。
  2. 球、盒均可辨。
  3. 球可辨,盒子不可辨。
  4. 盒子可辨,球不可辨。

而这样一分后,我们就可以清楚地看到,他们之间的样本空间确实是不一样的,当然 sigma 域也不一样。(我们可以用暴力算法进行验证下,比如 3 个球,2 个盒子)

一般来想,最后一种情况其实是最好解决的,即盒子可辨,球不可辨。求解如下:
样本空间有样本点数是 binom{r+n-1}{n-1},即最终可以分辨的结果总数。有效的样本数量是 binom{n}{m}binom{r-1}{n-m-1}, 然后相除即可得相应的概率。这种结果在许多书上都有讲解。意思也非常好理解,方法就是用到了我们高中曾经常提到的第一、二隔板法。

我们再对生活中常见的第二种情况进行求解,即盒子与球都可辨。而这也是我们中很多人上来就说总的情况数有 n^2 的那种情形的求解。
这个复杂些,他的样本空间有样本点数为 n^r,即每一种排列都是不同的(假使我们将球进行全排),然后也是先从 n 个盒子中挑选出 m 个空盒,然后再对另外 n-m 个空盒均有球的情况下进行求解,而这也正是求解的复杂之处。这个的求解方法前面提到过,就是求对立事件。先求至少有一个盒子是空的,然后在推广到 n-m 个盒子空的。此时 r 个球,n 个盒子,至少有一个盒子是空的概率,这个大部分人还是会求解的,用到的方法就是我们常用的概率一般加法公式。具体过程就不在写了,然后可以得出对立事件没有盒子空的概率,

p(r,n)=sum_{v=0}^{n}(-1)^vbinom{n}{v}(1-frac{v}{n})^r

然后推广到 n-m 个盒子不空,分布的个数有 (n-m)^rp(r,n-m),然后乘以之前的binom{n}{m},得出的结果为

binom{n}{m}sum_{v=0}^{n-m}(-1)^vbinom{n-m}{v}(1-frac{m+v}{n})^v


其余的两种情况就不讨论了,思想是一样的,但是求解起来,第一种应该是最难的了,似乎很糊涂,而第三种情况单个具体情况的计算还比较好,但是要写出通式来,似乎也是一件很麻烦的事情,能力有限,就不做进一步求解了,当然大家可以继续求解。

说到这,下面我们谈谈在统计物理学中的几个统计。

麦克斯韦-波尔兹曼统计:研究的球是可辨的(在物理中,粒子的性质是不同的,经典统计中,认为粒子是可辨的,他适用于经典粒子系统,如气液固中的原子分子,布朗粒子等)。

波色-爱因斯坦统计:球是不可辨的(在物理由量子力学统治的微观世界中,同类粒子的是绝对不可辨的,即微观粒子的全同性。而不同类粒子,就相当于不同(可辨)的盒子)。

费米-狄拉克统计:在微观世界中,粒子也是不可辨的。在宏观世界中就等同于此类模型:印刷错误,此时错误都是不可辨的,而一个字母最多只可有一个错误。

回到这道题,麦克斯韦-波尔兹曼统计对应的是第二种情形,波色-爱因斯坦统计对应的是第四种情形,而费米-狄拉克统计是第四种情形中的一种特殊情况。

这些统计就是古典概率中比较典型的例子,对于上面的这道题,如果没有对等可能性理解清楚,很可能就出现了悖论,出现多个答案。而这个在古典概率中是很容易犯这样的错误的。比如非常著名的Bertrand奇论,等可能性不同的定义,导致了完全不同的答案。因此这也正导致概率公理化的必要了。
抽象空间中,首先有样本空间这个理论基础,即所有样本点构成的集合;然后有了 sigma 域,有封闭运算的基础,再加上域中的规范测度,对其中 sigma 域中的事件发生提供度量工具,这样一个概率空间就完整而严密的建立起来,没有像等可能性那样任何模糊的描述。

另外,我也对可辨与不可辨这个问题有了新的认识,费勒《概率论及其应用》(第3版),(注:我主要是参考这本权威的书籍)中对可辨与不可辨的区别解说是“类似于子总体与相应有序样本之间的关系”。换句话说就是组合中,一个组内部的元素相互之间是不可辨的,而不同组间的元素的可辨性又依赖于盒子的可辨性(有序样本)。但这样的解释过于理论化,我也被这样的解释弄糊涂了半天。其实用最简单的话解释就是把这个元素和其他的元素换位子,如果对整体的排列没有影响就是不可辨的,有影响就是可辨的。从而也就解释了第二种情况每个盒子内部的球是不可变辨的,而整体所有球还是可辨的。这样的解释可能更让我这样的人更易懂,更浅显些吧。

最后依然对以上仍残留的两种情况对费勒的书中提出一点疑问:
对于盒子不可辨,球可辨的具体情况,费勒给出了 7 球,7 盒子的例子。其中一种情况是占位数为 2211100 的分布。因为球可辨,盒子不可辨,可知这样的不同的分布有 frac{7!}{2!3!2!}frac{7!}{2!2!} 种,然后除以 7^7。这里,我用 3 球,3 盒子的情况进行了比较判断,如果出现 111 的分布,按费勒算的结果是 2/9,但是如果我们进行暴力求解,列出所有可能的情况,我写出了 5 种情况(盒子不可辨,球可辨),因此我算出来的结果是 1/5,与这个有很大的出入,我想问题可能依然是等可能性的判断与可辨与不可辨引起的,但是暂时仍没有太好的理解,已经被古典概率中的模糊性打昏了头脑,故希望与大家探讨。

到此,叹一句,古典概率挺难的!期末临近,概率论仍需努力!
哎,时间不待人,考试快结束吧…

闲谈两三句第二届中国R会议感想

话说我可真是悲惨之人了。从上海回来之后,我就慢慢回忆着前两个星期开R会议的情形,然后慢慢码字码感想,码到昨晚也码了接近五千字的感想,本来打算今晚用最激情澎湃的字句将酝酿已久的情感做一个完美的结局,可是天知道刚才我错了哪根神经,眼花一下将其删除,并轻轻一点鼠标把回收站也打扫的干干净净!当时那个崩溃,写作的兴趣一下就没有了。哎,但是怎么也对不住我喷薄了两晚的情感,而且写了那么多,字斟句酌的也不容易,于是马上上网下easyrecovery,找解决办法,可是悲哀的是win7似乎不兼容那个家伙,而且网上提供的手动解决办法对win7这家伙也没有动静,我终于失去了耐心,也不想进一步去想找个办法解决了。哎,人啊,一旦热情被打击了,就真的像泄了气的皮球,瘪瘪的特别萎靡。看着屏幕发了很久的呆,觉得那些情感珍藏在心里也不算一件什么坏事,只是我不太符合R软件开源的精神罢了——不想分享学习经验与感受。但是转念一想,如果真的不拿点文字纪念一下自己第一次“学术生涯”,还真有点对不住自己,也对不住带头大哥——太云学长了。

我记得我原来的残文中有句话这样写的:

两个星期,中南的一老三少,我、李程小楠,在老大太云的带领下,走南闯北,南征北战,甚是畅快与豪迈感,其中蕴藏的崇拜、感慨与反思,就如战场扬起的滚滚黄尘,征途中裹挟了我们一身,随后便默默消失在去长沙驿站的归途中...自豪,苍凉,勇猛,憧憬,复杂的情感张力就被一路的征途渲染的无穷无尽...

其实这段话就基本涵盖了我的种种感想,但依然是那句话:一图胜千言。先上一幅图吧。小南,李程,我(从左至右)

这是我们三兄弟在北京人大世纪大讲堂前的合影,三人照的很精神,很自信的感觉,我非常喜欢这张照片。

既然先去的北京,就先闲谈两三句北京站的感想吧。小楠和太云、丽云已经谈得很多了,我就说说我体会最深的吧。

北京会场给我最大的感触就是学术氛围很浓,师兄师姐好的让我感动得无以复加。从邱怡轩师兄对我们热情的接待,然后到奚潭大哥亲切交谈,再到会场中与陈堰平主席、范师兄、关菁菁学姐、陈丽云学姐、思喆大哥、钟其顶老师等的交流,那个亲切感,就彷佛让我回到了家的感觉,所以当我第一场演讲的时候,我竟然没有多少紧张,反而放得很开,因为台下的师兄师姐都以一种慈祥关爱鼓励的眼神看着我,我真的很有信心。当然最后讲的也不错,反响也挺好,虽然太云学长会后说我有几处理论错误,但是总体上也还不算太坏。我想如果不是师兄师姐老师们带给我的那种亲切感,我真的很可能讲砸了。因此要十分十分感谢邱师兄、范师兄、太云学长他们,他们的无私奉献与亲切的关怀让我有了前进的动力,让我觉得基础工作做出来也是有价值的。虽然咱还没有达到许宝騄老先生所說的第二流数学家水平,但是我深切体会到了基础工作的重要性,毕竟这项工作也不是每个人能做并能做好的。

当然北京还有很多值得留恋的地方,在会议期间,我还偷溜出去逛了清华和北大一圈。中国的顶级学府浓郁的文化熏陶,特别是北大,给我留下了深刻的印象,而我一回想自己的学校——中南时,我就终于明白太云学长所说我们所处环境的恶劣,学校如果只是为了把漂亮的教学楼盖起来,然后欠债办学时,那我感觉大学还不如一个高中...

再上一幅图:

华东师范大学

一个星期后,我们又转战到了上海。

其实北京会场讲完后,我就没有太大的兴趣去上海演讲了。毕竟东西含金量不高,而且上海会场的演讲者大部分是博士和汤银才那样的大腕级人物,去重复一件自己都认为意义不大的事情,反而让我觉得很有压力。但压力终归压力,不管怎样,我们一行四人还是飞到了上海这样一个国际化的大都市来,那也再谈谈一两点感想吧。

在上海会场的时候,我讲的很紧张,因为每当我一撇到汤老师那张严肃的脸,我就立马没了信心,而且最要命的是我演讲所处的时间段非常恶劣,在离中午十二点还有25分钟的时候,我和李程要把81张幻灯片讲完,这真的让人有如履薄冰、水深火热之感。所以我一上来就语无伦次的向大家抱歉我们要开始“电影”,然后就又语无伦次的开始了讲图的艰辛历程,现在回想起来,那种焦急的感觉和与太云一起在北京赶火车是一摸一样,手忙脚乱,一头大汗!哎,谁叫咱是无名小卒,遇到紧急情况、碰到高手还是无法气定神闲,悠然自若呀...

乱糟糟的事情就不多讲了,还是谈点在上海的开心之事。这次在上海可是跟陈丽云学姐好好聊了一些,才女就是才女,牛人就是牛人,一路狂奔,我还是只能看到隐隐约约看到她的倩影...呼,榜样的力量是无穷的呀!而另外我又碰到的一位顶呱呱的学姐就是于怡学姐了。话说在中午的时候我和她合影还站在一起,而在路上的时候,还和小楠与她调侃吉米多维奇,那时我们并没有意识到于怡学姐厉害之处,可是这正是我们最大的失策!下午当于怡学姐上台噼里啪啦的开始了她的生存分析的演讲时,我当时的感受只有四个字来形容:惊愕!崇敬!演讲的那个好,我真的是十分佩服,而当我从太云那里知道学姐的导师是美哥伦比亚大学统计系的系主任时,我更是由衷的崇拜!此时,我不得不感叹一句:巾帼不让须眉!低调的牛人,marvelous!

上海的女子给我留下了深刻的印象,当然,国际化的大都市美食和建筑也是让我们三个“下里巴人”魂牵梦绕,特别是小楠,现在还在念叨着生煎,生煎....

12号晚上,我们去了繁华的南京东路,然后便在吴江路疯狂饕餮,吉野家、上海生煎、岭南炖汤、意大利手工冰淇淋...而吃的撑得走不动时候,我们又回到七天酒店饕餮了奚潭大哥带来的两只咸水鸭,陈丽云学姐带来的周村烧饼...那一晚,我们三个真的让自己的胃得到了史上最大的“呵护”!

然后13号下午,我们便在思喆大哥带领下,去了浦东,看到了无比华丽的金茂和“军刀”,看到了豪华的正大广场,看到了一群群的和东方明珠差不多高的高楼大厦。那时,我想学建筑的梦想又开始发酵了...上海,真的是个奢华的地方,赤裸裸的现实中有太多充满诱惑力的梦幻...

但一切都很快结束,滚滚黄尘中,我们又回到了长沙。第二届中国R会议,就这样在我们的南征北战中完满结束。还想说些什么呢?

努力吧,明年的R会议,我们还要来!

逝者已逝,生者如斯

我的一个高中同桌突然地走了.....

听到这个消息,我呆住了,大脑空白,表情凝滞...

花季年龄,匆然离去,而且竟然是被可恶的车祸强行夺去,我突然无法接受..

心似乎在爆裂,记忆的碎片充斥了大脑,内心复杂,无言以对...

对于生命,无论那个人是谁,在这个生命即将凋谢的时候,每个人心中都会感到些许的悲恸和惋惜,而我却是空白到很痛。怀念,感激,遗憾,悔恨,往日场景一遍遍回放...只想沉默!

昨天听到消息的时候,她已经下葬了....

今天,从前,以后,再也无法相见,曾经的活泼开朗将会到哪里去呢?

没有太多话语,只是愿她安息,愿她母亲平安,愿活者的人仍然好好活着。

生命真的很脆弱...

突然想到了流星,闪过的那丝亮光,是泪么??

数学的眼睛:快乐子空间

一直总认为快乐只属于快乐的状态,没有烦恼,没有眼泪,只有欢笑,只有和云一样轻松的心情。它的空间很小,在整个心情域里面,他只是一个一维的子空间,他的基只有笑,笑加笑还是笑,笑乘笑还是笑,简单是快乐最大的特点。

可是最近我却突然发现,原来快乐不是一维的,太简单的快乐好脆弱。因为简单而纯洁,因为纯洁而远离,因为远离而脆弱。

俗世沙石的冲刷,让你无法凝聚着简单的灵魂,除非你遇到了知己,可以心有灵犀一点通,而很多时候,只有你,看到了静谧蓝天下软软的云朵,并开心的叫喊着!多美的云!而 周围的朋友却无动于衷中敷衍着你惊讶而享受的表情。这是一种寂寞的快乐,自己享受着内心的充实,可是此时此地此环境,你却是落魄的。简单的快乐,无法用成 熟的语言交流,他的稚嫩让你成熟的嘴无法承受,你只能用你干净的灵魂去独自享受,或者有知己在身边,相视一笑,用相互的眼神交流彼此的快乐,然后双双抬头 静静的看天。

这种快乐好淡,就如一幅中国画,没有一点喧嚣的痕迹,只有飘渺的山影,留白的飞瀑,古朴的村庄和安详的老人。静,巨大的静,静止了时间,净化了心灵,容不 得半点嘈杂,否则心境尽失,破碎就会成为必然。而我因为太追求这种感觉,所以就经常的破碎,真正快乐时候很短,这也成了我苦恼的源头。

渐渐的,我发现快乐也许是二维的,笑与泪都是他的基,他构成的子空间充满了矛盾与和谐,就像理想与现实的关系,找到了合适的支撑点便找到了奋斗的方向,找 到享受激情所在。一切空间都是美的,因为多维,因为多变,而快乐也是一样。只要做一个合适的变换,转化他们错综复杂的线条,以最简单的特征向量勾勒他们, 就可以发现笑与泪之间存在的不变的东西。痛苦和开心的体会其实都是快乐与幸福的构架,就像远离父母的唠叨和庇护后,才慢慢懂得父母是多么的爱着自己,才知 道被人爱是多么快乐多么幸福的事情。苦涩的泪是快乐的乐曲中最有味道的旋律,因为这点瑕疵,那些笑才显得那么珍贵,显得那么刻骨铭心。两基的支撑,系数的 此消彼长,构成了曲曲折折的快乐子空间,无限的伸向前方,一种没有尽头的享受。坐标系的倾斜也就是快乐与痛苦的倾斜,两字空间的交是笑和泪...........

我也不知道我为什么突然蹦出来这种想法,可能是最近与室友处得不够愉快瞎想的结果吧。一直我追求只有一维的快乐,没有多少铜臭的味道,没有多少利益的感 觉,没有多少索取的意向,没有多少自私的忍受。我努力追求,希望获取精神上的慰藉,可是竟然发现一切都不能如愿。如果朋友间不能相互体会对方的意向,那就 没有必要做朋友了,这种隔膜是一种感觉,无法形象的描述。我很重视这种感觉,一旦谁和我出现了这种感觉,我就感觉很别扭,快乐无法分享,一切都会索然无味 的....所以我很喜欢以前那群兄弟们,精神上的契合,让兄弟这两个字用得无愧!而前两天和英语俱乐部那群一起也有了那么点感觉,这让我感觉到开心,有了点疯狂的念头..

或许我该更大度点,更崇高点,能够努力接受这个二维的子空间,可是修养不到,品性有何求...

感动最近看到的一句话,是苏子由写给他兄弟苏轼的:与君世世为兄弟,更结来生不了缘...."喜欢这种真诚的感觉...是永久的快乐...

see《恋爱的犀牛》

同学说去看《恋爱的犀牛》,虽然不知道是什么,还是爽快的答应了...十周年的一个舞台剧,无论如何也该支持一下,于是第一次跑湖南大剧院去看高质量的舞台剧,内心很冲动。

柔软的椅子,立体的剧场,新奇的舞台,巨大的镜子,美妙的声音,还有超激情投入的演员,真的很震撼,很有feeling。整个剧松松紧紧,张弛有度,真的挺完美的。然而看完后,内心的感受不知道怎么形容,很好的剧却让一个不该来看的人来看了,我有点矛盾。

整个观看剧的过程中,我并没有把每个细节都看到,一方面前面的观众太没有素质,本来个子高,还坐得笔直,身体前倾,头抬的老高,挡住了我的视线,而另外一个重要的方面是我觉得看了一部分后我就能猜出这个剧的主题了,于是我静静的听,静静的听,静静的看。

也许我真的不该来,两个小时,我只记住了三段话,而这三段话,却又是我最心伤的三段话。

“忘掉她,忘掉她就可以不必再忍受,忘掉她就可以不必再痛苦。忘掉她,忘掉你没有的东
西,忘掉别人有的东西,忘掉你失去和以后不能得到的东西,忘掉仇恨,忘掉屈辱,忘掉
爱情,像犀牛忘掉草原,像水鸟忘掉湖泊,你地狱里的人忘掉天堂,像截肢的人忘掉自己
曾快步如飞,像落叶忘掉风,像图拉忘掉母犀牛。忘掉是一般人能做的惟一的事。但是我
决定不忘掉她。”
“也有很多次我想在放弃了,但是它在我身体的某个地方留下了疼痛的感觉,一想到它会永远在那儿隐隐作痛,一想到以后我看待一切的目光都会因为那一点疼痛而变得了无生气,我就怕了,爱他,是我做过的最好的事情。  ”
“这就是图拉,我最好的,也是最后的伙伴.明明,我想给你一切,可我一无所有.我想为你放弃一切,可我又没有什么可以放弃.钱,.地位,荣耀,我公有的那 一点点自尊没有这些东西的装点也就不值一提.如果是中世纪,我可以去做一个骑士,把你的名字写一每一座被征服的城池.如果在沙漠中,我会流尽最后一滴鲜血 去滋润你干裂的嘴唇.如果我是天文学家,有一颗星星会叫做明明;如果我是诗人,所有的声音都只为你歌唱;如果我是法官,你的好恶就是我最高的法则;如果我 是神父,再没有比你更好的天堂;如果我是哨兵,你的每一个字都是我的口令;如果我是西楚霸王,我会带着你临阵脱逃任由人们耻笑;如果我是杀人如麻的强盗, 他们会乞求你来让我俯首贴耳,可我什么也不是,一个普通人,一个像我这样普通的人,我能为你做什么呢?  ”

我想起了自己,想起了自己曾经的坚持,卑微,落寞,隐秘,像杂草一样在自己内心疯长,无可遏制的膨胀。那是第一次内心的坚持,坚持的如此的傻,如此的无 奈,如此的让人不屑。可是我那时还是坚持着,天蝎座,呵呵,神秘的冲动,固执,倔强,真的认定,就很难改变。就像剧中那主角声嘶力竭的喊道,“忘掉是一般 人能做的唯一的事。但是我决定不忘掉她。”

可是终究我是一般人,伤痛带来天蝎座的仇恨,一旦决定就无法改变。我是变幻莫测,但是我不喜欢变换莫测的心。“也有很多次我想在放弃了,但是它在我身体某 个地方留下了疼痛的感觉,一想到它会永远在哪儿隐隐作痛,一想到以后我看到一切的目光都会因为那一点疼痛而变得了无生气,我就怕了。”一语中的,中的我的 心在流血。我想起了好朋友贝壳的经历,想象着他后来忍受的痛和孤独,他跟我说过,说他好像不再相信爱情之类的话,呵呵,很像很像。我又想起了我去年的班 长,很像那个男主角,可惜他的舞台只有男主角,没有女主角,惨烈,只有用惨烈两个字来形容....

其实我没有什么仇恨,看着舞台上那主角爆激情的表演,我只有羡慕,这种美只存在于艺术,存在于文学的追求与想象中。一旦忘记,我就很难记起,即使这部剧在 昨晚又试图唤醒我的记忆,呵呵,不可能,内心的空无法填补。也许我多么想像舞台上的马路(剧中男主角名)那样,在一个犀牛嚎叫风雨交加的夜晚那样声嘶力竭 的叫喊:“如果...如果...如果......像我这样的普通人,我能为你做什么呢?”然后举刀杀死自己心爱的饲养的犀牛,掏出它的心脏送给他心爱的明 明(女主角名),可是我无法做到,就像我无法填补内心的空。

也许我什么都没有付出,只付出过心的坚持,但是我却把它奉为无价,精神对我来说是至高无上的。已经忘却,就不会收回。呵呵,又想起了好朋友贝壳,想起了他 的思想变化的历程,想起了好朋友曾淼,想起了这个已经被西化的家伙,他们也许是对的,人是肉做的,哈哈,都差不多...

我不高尚,但是我爱高尚的精神,我不骄傲,但是我爱骄傲的棱角,我不深邃,但是我爱深邃的灵魂,我不纯洁,但是我爱纯洁的艺术;

而我任性,可是我也厌烦任性的变换,我卑微,可是我也唾弃甘于卑微的头颅,我愚蠢,可是我也鄙视腐朽的思想。

我是真实的人,有真实的心,坚持有过,放弃依然有过。

但是我从不也绝不放弃理想。

《恋爱的犀牛》,呵呵,被冠以恋爱圣经之名,也许对我来说,只能算作一次精神的享受。毕竟我是在生活中,疯狂与不疯狂,坚持与不坚持,都是我来决定。

恩,没有白花这么多的门票费。狂顶《恋爱的犀牛》!