概率 Archives - 境由心生

准备写这篇博文的时候，才发现自己不知道什么时候链接到薛定谔这个天才的物理学家身上来的。也许应了 Milgram 的六度分割理论，在百度SNS的时候，竟通过一堆链接便链到了这位可爱的物理学家，这就是缘分！

只记得在校内某个分享史上最优美的物理公式时候，依稀看到过薛定谔这位大神的名字。而他的那个稀奇古怪的公式，真看的我头皮直发麻：

$\Huge {-\frac{\bar{h}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi}$

也不知道什么意思。
而今天百度到他时，才知道他是概率量子力学——波动力学的创始人，和我的统计专业还是有很大的血缘关系。于是兴致勃勃的瞻仰他的生平事迹。很快我就被他提出的一个悖论给吸引住了：薛定谔猫态。

实验内容异乎寻常的简单：它被封在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子核衰变，则放出α粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的氰化物气体，猫必死无疑。

但是推论却是令人非常意外：当它们都被锁在箱子里时，因为我们没有观察，所以那个原子处在衰变／不衰变的叠加状态。因为原子的状态不确定，所以猫的状态也不确定，只有当我们打开箱子察看，事情才最终定论：要么猫躺在箱子里死掉了，要么它活蹦乱跳地“喵呜”直叫。问题是，当我们没有打开箱子之前，这只猫处在什么状态？似乎唯一的可能就是，它和我们的原子一样处在叠加态，这只猫当时陷于一种死／活的混合。

我没有学大学物理中的量子力学，所以对薛定谔方程本身就没有什么很深刻的理解。但是按我理解这个悖论，那就是现实的真实性与观测（或者说是理论计算）的关系。但是纯粹的观测对实验的结果又没有影响呢？

从我学统计以来，便慢慢有了一些想法和疑惑。我一直在想，概率是什么？现实事件的发生似乎是不确定的，但是经过观测，大量的发生似乎又有了一定的确定性，就和量子力学的思想一样：除非进行观测，否则一切都不是真实的。

特别是当学到大数定律中心极限定律以后，再反观之前的那些古典概率问题，有了一种特别奇特的感觉，似乎少量的实验得不出比较准确的结果，大量实验才能揭示出本质；且少量的实验似乎将会很容易让我们出现一些判断的失误。

一个硬币投下来或正或反，这个与经验常识还比较符合；但是一只猫在密室中不死不活，这个就大大的违背了常识了。当然这个问题扎痛了哥本哈根学派的量子论，也让我百思不得其解。因为学概率学久了，我也有了一些唯心的感觉：存在即被感知，世界是由不确定的、随机的事件构成并决定；只有最后的测量，我们才能够肯定一个事件的存在性。我隐隐约约觉得被灌输着一种思想：世界的本质就是不确定性。

而之前我被一个古典概率困扰了很久也跟这种思想有很大的关系。在那个问题中我认为其中球的可辨与不可辨与我们实验过程有很大的关系，虽然最后观察的事件都一样，但是这种每一次的测量都是以各种可能性的“塌缩”（借用物理中的概念描述）到一种结果告终的，所以最后的测量必然要与我们实验过程中的感知有关。换一种说法就是在我们投球时候，是否做到了等概率性（随机性）。我们感知着球，如果一次一次的投，必然心中会默认将其编号（不管每个球是否一样），这样就导致了球的可辨性；而如果我们一次性的投所有的球，无法感知球，那么球就丧失了可辨性。而最后我们观察的结果便将对应一次我们实验过程，将所有的可能性实验做完，便可以计算概率。但是这样做（类似暴力计算）与一般我们的计算结果将会有出入，特别是不可辨时。一般的计算将从最后的结果出发，只决定论式看最后的可测的结果，而不管过程；而我思考的过程恰好反了过来，我从过程进行出发，再到结果的计算。一句话，就是两种因果论调不同。当然此时这种因果分析与薛定谔猫的问题有偏差，与“蝴蝶效应”和“外祖母悖论”反而更接近些。但是我最初的那个问题依然存在，什么是概率？就比如上面这种投球，这种所谓的概率对一次结果没有什么必然的意义（当然这不是一个好例子），而薛定谔猫更是提出了让概率难回答的更现实的问题。

浏览一些量子力学的网页我渐渐觉得，决定论样的量子论诠释更能坚定我内心信仰。而对于自身学的概率统计，也应该以决定论的观点去看待。如果以人的感知来测量结果，很容易就陷入了主观唯心的困境。概率统计对于问题的描述是一个很好的工具，但是最后的结果无法不确定（当然在量子力学中，微观世界的运动是很高速的，一次单独的结果描述不是那么的有效，用一组结果来描述反而更有现实意义。因此概率量子力学与现实的经验结果也符合的很好。但宏观世界中应该是没有必要做如此处理的，没有必要还说对着一枚硬币正面说他出现的概率是0.5。）

究竟是必然还是偶然决定了宇宙的命运？我想上帝没有在玩骰子！

很久没有更新博客了，主要最近到了考试周，忙于复习，虽然有一些想写的东西，但是时间的缘故，就只好暂且搁置着了。但今天复习概率论时，又想起了很久前遇到的一个题，仍然没有一个好的解答，虽然今天想的时候，已经有了一些新的想法，特别对概率空间这个概念有了更深的认识，但对这道题仍然是感到很模糊，已经有被折磨仙仙欲死之感，故赶紧拿出来与大家探讨。

在古典概率中，我们经常遇到一种模型。题目如下：将 $r$ 个球放到 $n$ 个盒子中，恰有 $m$ 个空盒子的概率是多少？

看到这样的题，我们第一反应是什么呢？
我想大部分人会有如下的想法。首先有 $n^r$ 种的情况，我们要求的情形：首先取出 $m$ 个空盒，这样有 $binom{n}{m}$ 种情况，然后剩下的 $n-m$ 个盒子全部都有球，那这个情况有多少种呢，这个时候，麻烦的事情就来了。有些人会给出这样的情况 $binom{r-1}{n-m-1}$ ，意思就是将 $r$ 个球分成 $n-m$ 堆；还有人可能这样想，先给每个盒子放一个球，然后其余的球随便放；也许还有人想，剩下的盒子都必须不空，这个不太好求，那我就求他的对立事件，至少有一个空盒子吧,也许可能还有其他的想法…
但是如果上来，没有对这个题的题目进行思考就像上面那样进行求解，，那我们怎么做这道题都是错的。因为这说明我们对概率空间这个概念还没有捋清楚。而这道题中的样本空间确实根本没有说清楚，我们是无法一概而论的。

这道题要分成了四种情况讨论：

球、盒均不可辨。
球、盒均可辨。
球可辨，盒子不可辨。
盒子可辨，球不可辨。

而这样一分后，我们就可以清楚地看到，他们之间的样本空间确实是不一样的,当然 $sigma$ 域也不一样。（我们可以用暴力算法进行验证下，比如 $3$ 个球， $2$ 个盒子）

一般来想，最后一种情况其实是最好解决的，即盒子可辨，球不可辨。求解如下：
样本空间有样本点数是 $binom{r+n-1}{n-1}$ ,即最终可以分辨的结果总数。有效的样本数量是 $binom{n}{m}binom{r-1}{n-m-1}$ , 然后相除即可得相应的概率。这种结果在许多书上都有讲解。意思也非常好理解，方法就是用到了我们高中曾经常提到的第一、二隔板法。

我们再对生活中常见的第二种情况进行求解，即盒子与球都可辨。而这也是我们中很多人上来就说总的情况数有 $n^2$ 的那种情形的求解。
这个复杂些，他的样本空间有样本点数为 $n^r$ ,即每一种排列都是不同的（假使我们将球进行全排），然后也是先从 $n$ 个盒子中挑选出 $m$ 个空盒，然后再对另外 $n-m$ 个空盒均有球的情况下进行求解，而这也正是求解的复杂之处。这个的求解方法前面提到过，就是求对立事件。先求至少有一个盒子是空的，然后在推广到 $n-m$ 个盒子空的。此时 $r$ 个球， $n$ 个盒子，至少有一个盒子是空的概率，这个大部分人还是会求解的，用到的方法就是我们常用的概率一般加法公式。具体过程就不在写了，然后可以得出对立事件没有盒子空的概率，

$p(r,n)=sum_{v=0}^{n}(-1)^vbinom{n}{v}(1-frac{v}{n})^r$

然后推广到 $n-m$ 个盒子不空，分布的个数有 $(n-m)^rp(r,n-m)$ ,然后乘以之前的 $binom{n}{m}$ ，得出的结果为

$binom{n}{m}sum_{v=0}^{n-m}(-1)^vbinom{n-m}{v}(1-frac{m+v}{n})^v$

其余的两种情况就不讨论了，思想是一样的，但是求解起来，第一种应该是最难的了,似乎很糊涂，而第三种情况单个具体情况的计算还比较好，但是要写出通式来，似乎也是一件很麻烦的事情，能力有限，就不做进一步求解了，当然大家可以继续求解。

说到这，下面我们谈谈在统计物理学中的几个统计。

麦克斯韦-波尔兹曼统计：研究的球是可辨的（在物理中，粒子的性质是不同的，经典统计中，认为粒子是可辨的，他适用于经典粒子系统，如气液固中的原子分子，布朗粒子等）。

波色-爱因斯坦统计：球是不可辨的（在物理由量子力学统治的微观世界中，同类粒子的是绝对不可辨的，即微观粒子的全同性。而不同类粒子，就相当于不同（可辨）的盒子）。

费米-狄拉克统计：在微观世界中，粒子也是不可辨的。在宏观世界中就等同于此类模型：印刷错误，此时错误都是不可辨的，而一个字母最多只可有一个错误。

回到这道题，麦克斯韦-波尔兹曼统计对应的是第二种情形，波色-爱因斯坦统计对应的是第四种情形，而费米-狄拉克统计是第四种情形中的一种特殊情况。

这些统计就是古典概率中比较典型的例子，对于上面的这道题，如果没有对等可能性理解清楚，很可能就出现了悖论，出现多个答案。而这个在古典概率中是很容易犯这样的错误的。比如非常著名的Bertrand奇论,等可能性不同的定义，导致了完全不同的答案。因此这也正导致概率公理化的必要了。
抽象空间中，首先有样本空间这个理论基础，即所有样本点构成的集合；然后有了 $sigma$ 域，有封闭运算的基础，再加上域中的规范测度，对其中 $sigma$ 域中的事件发生提供度量工具，这样一个概率空间就完整而严密的建立起来，没有像等可能性那样任何模糊的描述。

另外，我也对可辨与不可辨这个问题有了新的认识，费勒《概率论及其应用》（第3版），（注：我主要是参考这本权威的书籍）中对可辨与不可辨的区别解说是“类似于子总体与相应有序样本之间的关系”。换句话说就是组合中，一个组内部的元素相互之间是不可辨的，而不同组间的元素的可辨性又依赖于盒子的可辨性（有序样本）。但这样的解释过于理论化，我也被这样的解释弄糊涂了半天。其实用最简单的话解释就是把这个元素和其他的元素换位子，如果对整体的排列没有影响就是不可辨的，有影响就是可辨的。从而也就解释了第二种情况每个盒子内部的球是不可变辨的，而整体所有球还是可辨的。这样的解释可能更让我这样的人更易懂，更浅显些吧。

最后依然对以上仍残留的两种情况对费勒的书中提出一点疑问：
对于盒子不可辨，球可辨的具体情况，费勒给出了 $7$ 球， $7$ 盒子的例子。其中一种情况是占位数为 $2$ ， $2$ ， $1$ ， $1$ ， $1$ ， $0$ ， $0$ 的分布。因为球可辨，盒子不可辨，可知这样的不同的分布有 $frac{7!}{2!3!2!}frac{7!}{2!2!}$ 种，然后除以 $7^7$ 。这里，我用 $3$ 球， $3$ 盒子的情况进行了比较判断，如果出现 $1$ ， $1$ ， $1$ 的分布，按费勒算的结果是 $2/9$ ，但是如果我们进行暴力求解，列出所有可能的情况，我写出了 $5$ 种情况（盒子不可辨，球可辨），因此我算出来的结果是 $1/5$ ，与这个有很大的出入，我想问题可能依然是等可能性的判断与可辨与不可辨引起的，但是暂时仍没有太好的理解，已经被古典概率中的模糊性打昏了头脑，故希望与大家探讨。