一个并不麻烦的古典概率题

很久没有更新博客了,主要最近到了考试周,忙于复习,虽然有一些想写的东西,但是时间的缘故,就只好暂且搁置着了。但今天复习概率论时,又想起了很久前遇到的一个题,仍然没有一个好的解答,虽然今天想的时候,已经有了一些新的想法,特别对概率空间这个概念有了更深的认识,但对这道题仍然是感到很模糊,已经有被折磨仙仙欲死之感,故赶紧拿出来与大家探讨。

在古典概率中,我们经常遇到一种模型。题目如下:将 r 个球放到 n 个盒子中,恰有 m 个空盒子的概率是多少?

看到这样的题,我们第一反应是什么呢?
我想大部分人会有如下的想法。首先有 n^r 种的情况,我们要求的情形:首先取出 m 个空盒,这样有 binom{n}{m} 种情况,然后剩下的 n-m 个盒子全部都有球,那这个情况有多少种呢,这个时候,麻烦的事情就来了。有些人会给出这样的情况 binom{r-1}{n-m-1},意思就是将 r 个球分成 n-m 堆;还有人可能这样想,先给每个盒子放一个球,然后其余的球随便放;也许还有人想,剩下的盒子都必须不空,这个不太好求,那我就求他的对立事件,至少有一个空盒子吧,也许可能还有其他的想法…
但是如果上来,没有对这个题的题目进行思考就像上面那样进行求解,,那我们怎么做这道题都是错的。因为这说明我们对概率空间这个概念还没有捋清楚。而这道题中的样本空间确实根本没有说清楚,我们是无法一概而论的。

这道题要分成了四种情况讨论:

  1. 球、盒均不可辨。
  2. 球、盒均可辨。
  3. 球可辨,盒子不可辨。
  4. 盒子可辨,球不可辨。

而这样一分后,我们就可以清楚地看到,他们之间的样本空间确实是不一样的,当然 sigma 域也不一样。(我们可以用暴力算法进行验证下,比如 3 个球,2 个盒子)

一般来想,最后一种情况其实是最好解决的,即盒子可辨,球不可辨。求解如下:
样本空间有样本点数是 binom{r+n-1}{n-1},即最终可以分辨的结果总数。有效的样本数量是 binom{n}{m}binom{r-1}{n-m-1}, 然后相除即可得相应的概率。这种结果在许多书上都有讲解。意思也非常好理解,方法就是用到了我们高中曾经常提到的第一、二隔板法。

我们再对生活中常见的第二种情况进行求解,即盒子与球都可辨。而这也是我们中很多人上来就说总的情况数有 n^2 的那种情形的求解。
这个复杂些,他的样本空间有样本点数为 n^r,即每一种排列都是不同的(假使我们将球进行全排),然后也是先从 n 个盒子中挑选出 m 个空盒,然后再对另外 n-m 个空盒均有球的情况下进行求解,而这也正是求解的复杂之处。这个的求解方法前面提到过,就是求对立事件。先求至少有一个盒子是空的,然后在推广到 n-m 个盒子空的。此时 r 个球,n 个盒子,至少有一个盒子是空的概率,这个大部分人还是会求解的,用到的方法就是我们常用的概率一般加法公式。具体过程就不在写了,然后可以得出对立事件没有盒子空的概率,

p(r,n)=sum_{v=0}^{n}(-1)^vbinom{n}{v}(1-frac{v}{n})^r

然后推广到 n-m 个盒子不空,分布的个数有 (n-m)^rp(r,n-m),然后乘以之前的binom{n}{m},得出的结果为

binom{n}{m}sum_{v=0}^{n-m}(-1)^vbinom{n-m}{v}(1-frac{m+v}{n})^v


其余的两种情况就不讨论了,思想是一样的,但是求解起来,第一种应该是最难的了,似乎很糊涂,而第三种情况单个具体情况的计算还比较好,但是要写出通式来,似乎也是一件很麻烦的事情,能力有限,就不做进一步求解了,当然大家可以继续求解。

说到这,下面我们谈谈在统计物理学中的几个统计。

麦克斯韦-波尔兹曼统计:研究的球是可辨的(在物理中,粒子的性质是不同的,经典统计中,认为粒子是可辨的,他适用于经典粒子系统,如气液固中的原子分子,布朗粒子等)。

波色-爱因斯坦统计:球是不可辨的(在物理由量子力学统治的微观世界中,同类粒子的是绝对不可辨的,即微观粒子的全同性。而不同类粒子,就相当于不同(可辨)的盒子)。

费米-狄拉克统计:在微观世界中,粒子也是不可辨的。在宏观世界中就等同于此类模型:印刷错误,此时错误都是不可辨的,而一个字母最多只可有一个错误。

回到这道题,麦克斯韦-波尔兹曼统计对应的是第二种情形,波色-爱因斯坦统计对应的是第四种情形,而费米-狄拉克统计是第四种情形中的一种特殊情况。

这些统计就是古典概率中比较典型的例子,对于上面的这道题,如果没有对等可能性理解清楚,很可能就出现了悖论,出现多个答案。而这个在古典概率中是很容易犯这样的错误的。比如非常著名的Bertrand奇论,等可能性不同的定义,导致了完全不同的答案。因此这也正导致概率公理化的必要了。
抽象空间中,首先有样本空间这个理论基础,即所有样本点构成的集合;然后有了 sigma 域,有封闭运算的基础,再加上域中的规范测度,对其中 sigma 域中的事件发生提供度量工具,这样一个概率空间就完整而严密的建立起来,没有像等可能性那样任何模糊的描述。

另外,我也对可辨与不可辨这个问题有了新的认识,费勒《概率论及其应用》(第3版),(注:我主要是参考这本权威的书籍)中对可辨与不可辨的区别解说是“类似于子总体与相应有序样本之间的关系”。换句话说就是组合中,一个组内部的元素相互之间是不可辨的,而不同组间的元素的可辨性又依赖于盒子的可辨性(有序样本)。但这样的解释过于理论化,我也被这样的解释弄糊涂了半天。其实用最简单的话解释就是把这个元素和其他的元素换位子,如果对整体的排列没有影响就是不可辨的,有影响就是可辨的。从而也就解释了第二种情况每个盒子内部的球是不可变辨的,而整体所有球还是可辨的。这样的解释可能更让我这样的人更易懂,更浅显些吧。

最后依然对以上仍残留的两种情况对费勒的书中提出一点疑问:
对于盒子不可辨,球可辨的具体情况,费勒给出了 7 球,7 盒子的例子。其中一种情况是占位数为 2211100 的分布。因为球可辨,盒子不可辨,可知这样的不同的分布有 frac{7!}{2!3!2!}frac{7!}{2!2!} 种,然后除以 7^7。这里,我用 3 球,3 盒子的情况进行了比较判断,如果出现 111 的分布,按费勒算的结果是 2/9,但是如果我们进行暴力求解,列出所有可能的情况,我写出了 5 种情况(盒子不可辨,球可辨),因此我算出来的结果是 1/5,与这个有很大的出入,我想问题可能依然是等可能性的判断与可辨与不可辨引起的,但是暂时仍没有太好的理解,已经被古典概率中的模糊性打昏了头脑,故希望与大家探讨。

到此,叹一句,古典概率挺难的!期末临近,概率论仍需努力!
哎,时间不待人,考试快结束吧…

数学的眼睛:快乐子空间

一直总认为快乐只属于快乐的状态,没有烦恼,没有眼泪,只有欢笑,只有和云一样轻松的心情。它的空间很小,在整个心情域里面,他只是一个一维的子空间,他的基只有笑,笑加笑还是笑,笑乘笑还是笑,简单是快乐最大的特点。

可是最近我却突然发现,原来快乐不是一维的,太简单的快乐好脆弱。因为简单而纯洁,因为纯洁而远离,因为远离而脆弱。

俗世沙石的冲刷,让你无法凝聚着简单的灵魂,除非你遇到了知己,可以心有灵犀一点通,而很多时候,只有你,看到了静谧蓝天下软软的云朵,并开心的叫喊着!多美的云!而 周围的朋友却无动于衷中敷衍着你惊讶而享受的表情。这是一种寂寞的快乐,自己享受着内心的充实,可是此时此地此环境,你却是落魄的。简单的快乐,无法用成 熟的语言交流,他的稚嫩让你成熟的嘴无法承受,你只能用你干净的灵魂去独自享受,或者有知己在身边,相视一笑,用相互的眼神交流彼此的快乐,然后双双抬头 静静的看天。

这种快乐好淡,就如一幅中国画,没有一点喧嚣的痕迹,只有飘渺的山影,留白的飞瀑,古朴的村庄和安详的老人。静,巨大的静,静止了时间,净化了心灵,容不 得半点嘈杂,否则心境尽失,破碎就会成为必然。而我因为太追求这种感觉,所以就经常的破碎,真正快乐时候很短,这也成了我苦恼的源头。

渐渐的,我发现快乐也许是二维的,笑与泪都是他的基,他构成的子空间充满了矛盾与和谐,就像理想与现实的关系,找到了合适的支撑点便找到了奋斗的方向,找 到享受激情所在。一切空间都是美的,因为多维,因为多变,而快乐也是一样。只要做一个合适的变换,转化他们错综复杂的线条,以最简单的特征向量勾勒他们, 就可以发现笑与泪之间存在的不变的东西。痛苦和开心的体会其实都是快乐与幸福的构架,就像远离父母的唠叨和庇护后,才慢慢懂得父母是多么的爱着自己,才知 道被人爱是多么快乐多么幸福的事情。苦涩的泪是快乐的乐曲中最有味道的旋律,因为这点瑕疵,那些笑才显得那么珍贵,显得那么刻骨铭心。两基的支撑,系数的 此消彼长,构成了曲曲折折的快乐子空间,无限的伸向前方,一种没有尽头的享受。坐标系的倾斜也就是快乐与痛苦的倾斜,两字空间的交是笑和泪...........

我也不知道我为什么突然蹦出来这种想法,可能是最近与室友处得不够愉快瞎想的结果吧。一直我追求只有一维的快乐,没有多少铜臭的味道,没有多少利益的感 觉,没有多少索取的意向,没有多少自私的忍受。我努力追求,希望获取精神上的慰藉,可是竟然发现一切都不能如愿。如果朋友间不能相互体会对方的意向,那就 没有必要做朋友了,这种隔膜是一种感觉,无法形象的描述。我很重视这种感觉,一旦谁和我出现了这种感觉,我就感觉很别扭,快乐无法分享,一切都会索然无味 的....所以我很喜欢以前那群兄弟们,精神上的契合,让兄弟这两个字用得无愧!而前两天和英语俱乐部那群一起也有了那么点感觉,这让我感觉到开心,有了点疯狂的念头..

或许我该更大度点,更崇高点,能够努力接受这个二维的子空间,可是修养不到,品性有何求...

感动最近看到的一句话,是苏子由写给他兄弟苏轼的:与君世世为兄弟,更结来生不了缘...."喜欢这种真诚的感觉...是永久的快乐...